进制与进制转换

为什么计算机用二进制

计算机的核心是晶体管——一种微型开关,只有"通"和"断"两种状态。用 1 表示通、0 表示断,所有数据最终都要变成 0/1。这就是二进制。

什么是进制

进制是计数的方法。我们日常用的是十进制(逢十进一),因为人有十根手指。但进制不止一种:

进制	基数	数字符号	特点
二进制	2	0、1	计算机使用
八进制	8	0 到 7	每 3 位二进制一组(简化书写)
十进制	10	0 到 9	人类日常使用
十六进制	16	0 到 9、A 到 F	每 4 位二进制一组(程序开发常用)

区分不同进制,通常用下标或前缀:

• 下标:(1011)₂ 、(11)₁₀ 、(B)₁₆
• 前缀(编程中): 0b1011(二进制)、0o13(八进制)、0xB(十六进制)

位与字节

• 位(bit):二进制的最小单位,一个 0 或 1
• 字节(Byte):8 个 bit = 1 Byte,是计算机存储的基本单位
• 容量换算:1 KB = 1024 B,1 MB = 1024 KB,1 GB = 1024 MB

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二进制与十进制互相转换

一、二进制 → 十进制:按权展开

二进制每一位都有一个"权值",从右往左依次是 2⁰、2¹、2²、2³ …(即 1、2、4、8 …)。

口诀:有 1 的位,把权值加起来。

例 1:把 (1011)₂ 转成十进制

位	第 3 位	第 2 位	第 1 位	第 0 位
二进制值	1	0	1	1
权值	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
计入	8	0	2	1

结果 = 8 + 0 + 2 + 1 = (11)₁₀

例 2:记住这几个常用的权值,转换就很快:

二、十进制 → 二进制:除二取余

口诀:除以 2 取余数,倒序排列。

例:把 (13)₁₀ 转成二进制

步骤	除法	商	余数
1	13 ÷ 2	6	1 ← 最低位
2	6 ÷ 2	3	0
3	3 ÷ 2	1	1
4	1 ÷ 2	0	1 ← 最高位

商为 0 时停止,余数从下往上读:(1101)₂

验证:8 + 4 + 0 + 1 = 13 ✓

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八进制与十六进制简介

二进制太长(一个字节就要写 8 位 0/1),为简化书写,引入了八进制和十六进制。

八进制(Octal)

• 基数 8,数字 0 到 7
• 每 3 位二进制对应 1 位八进制(因为 2³ = 8)

二进制	000	001	010	011	100	101	110	111
八进制	0	1	2	3	4	5	6	7

例:(101011)₂ = (53)₈ 分组:101 011 → 5 3

十六进制(Hexadecimal)

• 基数 16,数字 0 到 9、A 到 F(其中 A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15)
• 每 4 位二进制对应 1 位十六进制(因为 2⁴ = 16)
• 程序开发中最常用,如颜色 #FF5733、内存地址 0x7FFE

二进制	0000	0001	…	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
十六进制	0	1	…	9	A	B	C	D	E	F

例:(1110 0100)₂ = (E4)₁₆ 分组:1110 0100 → E 4

三种进制对照

十进制	二进制	八进制	十六进制
8	1000	10	8
15	1111	17	F
16	10000	20	10
255	11111111	377	FF

记忆技巧:八进制对应 3 位一组,十六进制对应 4 位一组。这就是为什么程序员爱用十六进制——一个字节正好是 2 位十六进制(8 位二进制)。

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📱 项目案例·进制感知

• 打开 Windows 计算器,切换到「程序员模式」,输入 13,观察 BIN/OCT/HEX/DEC 四种进制同步显示
• 网页颜色 #FFFFFF 是白色 → FF = 255,即红绿蓝各通道都是最大值
• 用 Python 试(下章会学):bin(13) → '0b1101',hex(255) → '0xff'

🤔 思考

• 一个字节(8 位)能表示的最大十进制数是多少?对应十六进制是什么?
• 为什么 IPv4 地址 192.168.1.1 的每个数字都不超过 255?
• 颜色 #1A2B3C 中,'1A' 对应的十进制是多少?

📝 知识小结

• 二进制是计算机的计数方式(晶体管开关)
• 二→十:按权展开,有 1 的位权值相加
• 十→二:除二取余,倒序排列
• 八进制每 3 位一组,十六进制每 4 位一组(程序员常用)
• 1 字节 = 8 位,范围 0255,对应 2 位十六进制(00FF)